Le carré enchanté
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N° 16 Enigmes mathématiques
DifficileIl existe certains nombres entiers possédant des propriétés très particulières lorsqu'on les multiplie. Outre le nombre 25, il n'existe qu'un unique autre nombre à deux chiffres dont le carré se termine par lui-même. Quel est ce nombre remarquable ?
Indice : Le nombre que vous cherchez se termine obligatoirement par le chiffre 6, il faut tester les différentes dizaines.
Bravo, vous avez trouvé !
Dommage… voici la réponse :
Réponse
Il s'agit du nombre 76, car 76 multiplié par lui-même donne 5776.
Explication
Ce type de nombre est appelé un nombre automorphe. C'est un entier dont le carré se termine par les mêmes chiffres que le nombre lui-même. Pour qu'un carré se termine par le même dernier chiffre que sa racine, la racine doit se terminer par 0, 1, 5 ou 6.
Comme nous cherchons un nombre à deux chiffres, différent du célèbre 25, il doit se terminer par 1, 5 ou 6. Les dizaines doivent être minutieusement testées une par une. En explorant les terminaisons en 6, on teste 26, 36, 46, etc. L'algèbre modulaire nous indique que ce nombre doit vérifier une congruence stricte modulo 100.
On constate rapidement que 76 multiplié par 76 donne 5776. Les deux derniers chiffres du résultat correspondent parfaitement au nombre d'origine. C'est l'unique solution pour cette énigme.
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