Les cadeaux des douze jours
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Pendant douze jours, une marraine très généreuse gâte son filleul. Le jour n, elle lui offre n exemplaires d'un nouveau cadeau, et elle redonne aussi tous les cadeaux des types précédents, en même quantité que le jour où chacun est apparu. Le troisième jour, par exemple, cela fait 3 + 2 + 1 = 6 cadeaux. Combien de cadeaux le filleul a-t-il reçus en tout au bout des douze jours ?
Indice : Compte combien de fois le cadeau du premier jour est offert, puis celui du deuxième jour.
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Dommage… voici la réponse :
Réponse
364 cadeaux. Le type n est offert (13 − n) fois à n exemplaires, et la somme de ces produits vaut 364.
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Explication
On compte plus facilement par type de cadeau. Le premier type est offert chaque jour, soit 12 fois, à 1 exemplaire : 12 cadeaux. Le deuxième est offert du jour 2 au jour 12, soit 11 fois, à 2 exemplaires : 22 cadeaux. Le type n est offert (13 − n) fois à n exemplaires. Le total vaut 1 × 12 + 2 × 11 + 3 × 10 + 4 × 9 + 5 × 8 + 6 × 7 + 7 × 6 + 8 × 5 + 9 × 4 + 10 × 3 + 11 × 2 + 12 × 1 = 364.
L'énigme reprend la chanson anglaise Les Douze Jours de Noël (The Twelve Days of Christmas), imprimée pour la première fois vers 1780 : une perdrix dans un poirier le premier jour, puis deux tourterelles, trois poules françaises, et ainsi de suite. En additionnant toutes les strophes, on obtient 364 cadeaux, soit un par jour de l'année à un jour près.
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